Даны f(x) = 5x + 2 и g(x) = x − 6. Найдите (f + g)(x) и укажите область определения.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишите, что означает знак «плюс» между двумя функциями. Сложение функций определяется поточечно: для каждого аргумента $x$ вычисляются оба значения и складываются. В символах,

   $(f+g)(x)=f(x)+g(x).$

   Никакой новой операции здесь нет — вся работа сводится к подстановке двух формул.

2. 2

   Подставьте обе формулы, оставив каждую в скобках. Скобки станут важны, как только появится вычитание, поэтому привычку стоит вырабатывать сразу:

   $(f+g)(x)=(5x+2)+(x-6).$

3. 3

   Раскройте скобки и сгруппируйте подобные члены. Перед каждой скобкой стоит плюс, поэтому ничего не меняет знак:

   $(5x+2)+(x-6)=\underbrace{5x+x}_{\text{члены с }x}+\underbrace{2-6}_{\text{свободные члены}}.$

4. 4

   Объедините каждую группу. Коэффициент при $x$ равен $5+1=6$, а свободные члены дают $2-6=-4$:

   $(f+g)(x)=6x-4.$

5. 5

   Ищите область определения по слагаемым, а не по готовому ответу. Сумма определена ровно там, где определены обе исходные функции. И $f$, и $g$ — многочлены, определённые при любом действительном числе, поэтому

   $\text{область определения }(f+g)=(-\infty,\infty).$

   Порядок здесь важен: у частного вроде $f/g$ упрощённая формула может скрыть значение, которое всё равно нужно исключить, поэтому область определения всегда читайте по исходным функциям.