Разложите многочлен полностью или укажите, что он неприводим: 5x⁴ − 80.

Step-by-step solution

1. 1

   Вынесем числовой НОД. Оба слагаемых делятся на $5$: $5x^4 - 80 = 5(x^4 - 16)$. Это позволяет упростить выражение и увидеть структуру многочлена без лишних коэффициентов.

2. 2

   Заметим разность квадратов. $x^4 = (x^2)^2$, $16 = 4^2$, значит, $x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$. Применяется стандартная формула разности квадратов.

3. 3

   Применим формулу ещё раз. В первом множителе снова разность квадратов: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$. Это завершает разложение этой части.

4. 4

   Проверим, можно ли разложить $x^2 + 4$. Сумма квадратов не имеет действительных корней, поэтому над полем действительных чисел $x^2 + 4$ считается неприводимым — на этом разложение заканчивается.

5. 5

   Запишем полный результат разложения. Все множители собраны: $5(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$. Это и есть окончательное разложение на множители над $\text{ действительными числами }$.

6. 6

   Проверим результат. $(x-2)(x+2)(x^2+4) = (x^2-4)(x^2+4) = x^4 - 16$, а $5(x^4 - 16) = 5x^4 - 80$. Значит, разложение выполнено верно.