Решите уравнение x⁴ + x³ + x² + x = 4553.

Step-by-step solution

1. 1

   Раскладываем левую часть, чтобы понять её устройство. Группировкой получаем

   $x^4+x^3+x^2+x=x(x^3+x^2+x+1)=x(x+1)(x^2+1)$

   Так как $x^2+1>0$ всегда, знак функции $g(x)=x(x+1)(x^2+1)$ совпадает со знаком $x(x+1)$: он отрицателен только на $(-1,0)$ и положителен вне этого промежутка. При этом $g$ растёт как $x^4$ в обе стороны. Значит, для любого положительного значения справа вещественных корней ровно два — один положительный и один отрицательный, и именно про отрицательный обычно забывают.

2. 2

   Локализуем положительный корень. $g(7)=2401+343+49+7=2800$ и $g(8)=4096+512+64+8=4680$. Значение $4553$ лежит между ними, поэтому корень находится в $(7,8)$ и близок к $8$.

3. 3

   Уточняем положительный корень. $g(7.9)=4458.36$ и $g(7.95)=4568.17$, значит, корень лежит в $(7.9,7.95)$. Деление пополам до машинной точности даёт

   $x_1=7.9431476$

4. 4

   Отвергаем часто приводимое значение 7.949102. В этой точке $g(7.949102)=4566.18$, что превышает $4553$ более чем на $13$. Столь далёкое значение корнем быть не может; расхождение легко не заметить, потому что из-за четвёртой степени вблизи $x=8$ функция $g$ меняется очень быстро — примерно на $2200$ на единицу.

5. 5

   Локализуем и уточняем отрицательный корень. $g(-8)=4096-512+64-8=3640$ и $g(-8.5)=4669.69$, значит, второй корень лежит в $(-8.5,-8)$. Деление пополам даёт

   $x_2=-8.4477787$

6. 6

   Проверяем оба корня. $g(7.9431476)=4553.000$ и $g(-8.4477787)=4553.000$ с точностью до трёх знаков. Оставшиеся два корня уравнения четвёртой степени образуют комплексно-сопряжённую пару, поэтому множество вещественных решений — ровно $\{7.9431476,\,-8.4477787\}$.