Упростите (x^a)^(−b), где a и b — константы.

Step-by-step solution

1. 1

   Применим правило возведения степени в степень. Для любого основания $u$ и показателей $m,n$:

   $\left(u^m\right)^n=u^{mn}$

   Показатели перемножаются; типичная ошибка — сложить их, но сложение показателей относится к другому правилу, для $u^m\cdot u^n$.

2. 2

   Подставим данные показатели. При $u=x$, $m=a$, $n=-b$:

   $\left(x^a\right)^{-b}=x^{a\cdot(-b)}=x^{-ab}$

3. 3

   Перейдём от отрицательного показателя к обратной дроби. По определению $u^{-k}=\tfrac{1}{u^k}$ при $u\neq 0$:

   $x^{-ab}=\frac{1}{x^{ab}}$

   Обе записи верны; дробную обычно предпочитают, когда «упростить» означает «избавиться от отрицательных показателей».

4. 4

   Укажем ограничения. Преобразование требует $x\neq 0$, а для произвольных действительных показателей принято считать $x>0$, чтобы выражение $x^a$ было определено. При этих условиях тождество выполняется точно.

5. 5

   Проверим на числах. Возьмём $x=2$, $a=3$, $b=2$: исходное выражение равно $\left(2^3\right)^{-2}=8^{-2}=\tfrac{1}{64}$, и $x^{-ab}=2^{-6}=\tfrac{1}{64}$ $\checkmark$. Нецелый случай: при $x=2.3$, $a=1.7$, $b=0.8$ получаем $\left(2.3^{1.7}\right)^{-0.8}\approx 0.322144$ и $2.3^{-1.36}\approx 0.322144$ $\checkmark$.