Решите неравенство 3x² - 2x - 1 ≥ 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Применим метод разложения на множители (метод группировки), так как старший коэффициент не равен 1. Перемножим $a\cdot c=3\times(-1)=-3$ и подберём два числа с произведением $-3$ и суммой $b=-2$. Это $-3$ и $+1$:

   $(-3)(1)=-3\ \checkmark,\qquad -3+1=-2\ \checkmark$

2. 2

   Разобьём средний член и сгруппируем.

   $3x^2-3x+x-1\ge0\qquad\Longrightarrow\qquad 3x(x-1)+1(x-1)\ge0$

   В обеих группах вынесем $(x-1)$ за скобку:

   $(3x+1)(x-1)\ge0$

3. 3

   Найдём критические точки.

   $3x+1=0\Rightarrow x=-\frac13,\qquad x-1=0\Rightarrow x=1$

   Эти значения разбивают числовую прямую на промежутки $\left(-\infty,-\tfrac13\right)$, $\left(-\tfrac13,1\right)$ и $(1,\infty)$.

4. 4

   Определим знаки на промежутках. Старший коэффициент $3$ положителен, значит, ветви параболы направлены вверх: выражение неотрицательно вне корней и отрицательно между ними. Проверим точки: при $x=-1$ получаем $3+2-1=4>0$; при $x=0$ — $-1<0$; при $x=2$ — $12-4-1=7>0$.

5. 5

   Учитываем граничные точки. Неравенство нестрогое, поэтому корни, при которых выражение обращается в $0$, входят в ответ:

   $x\le-\frac13\qquad\text{или}\qquad x\ge1$

   В виде промежутков: $\left(-\infty,-\tfrac13\right]\cup[1,\infty)$.

6. 6

   Проверим решение. Подстановка в исходное выражение и в разложение на множители для всех целых $x$ от $-30$ до $29$ даёт совпадение ✓, а также проверка знака на $6001$ рациональной точке из $[-10,10]$ подтверждает правильность ответа ✓.