Упростите f(x) = (−x² − 289)/x и укажите область определения.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим, можно ли разложить числитель на множители. $-x^2-289 = -(x^2+289)$. Поскольку $x^2+289$ — это сумма квадратов, вещественных множителей у него нет, поэтому ничего не сокращается полностью — единственное возможное упрощение — разложить дробь на два слагаемых.

2. 2

   Разобьём дробь на две части. Деление можно распределить по каждому слагаемому числителя: $\frac{-x^2-289}{x} = \frac{-x^2}{x} - \frac{289}{x}.$ Это допустимо, так как оба слагаемых имеют одинаковый знаменатель $x$.

3. 3

   Сократим x в первом слагаемом. $\dfrac{-x^2}{x} = \dfrac{-x\cdot x}{x} = -x$, что верно при условии $x \neq 0$. Во втором слагаемом $x$ в числителе нет, поэтому оно остаётся $-\dfrac{289}{x}$.

4. 4

   Запишем итоговую форму. $f(x) = -x - \frac{289}{x} = -\left(x + \frac{289}{x}\right).$ Скобочная запись наглядно показывает структуру: функция $f$ равна $-1$, умноженному на сумму числа и его кратного обратного.

5. 5

   Укажем область определения. В исходном выражении в знаменателе стоит $x$, поэтому $x=0$ исключается; область определения: $x \in (-\infty,0)\cup(0,\infty)$. В упрощённой форме ограничение сохраняется, новых точек разрыва не появляется.

6. 6

   Дополнительно рассмотрим свойства функции. Так как $f(-x) = x + \dfrac{289}{x} = -f(x)$, функция нечётная; при $x = 0$ — вертикальная асимптота, а $y = -x$ — наклонная асимптота.