Решить двойное неравенство −1 < x² − x − 1 < 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Разобьём на два отдельных неравенства. Если в цепочке неравенств среднее выражение — нелинейное, просто прибавить число ко всем частям и сразу выписать ответ нельзя: функция не монотонна. Поэтому исходное неравенство заменяется на две независимые системы, соединённые логическим «и»:

   $x^2 - x - 1 > -1 \quad \text{и} \quad x^2 - x - 1 < 1$

2. 2

   Решим левое неравенство. Прибавим $1$: $x^2 - x > 0$, то есть $x(x-1) > 0$. Произведение двух линейных множителей положительно вне корней, значит

   $x < 0 \quad \text{или} \quad x > 1$

3. 3

   Решим правое неравенство. Вычтем $1$: $x^2 - x - 2 < 0$, то есть $(x-2)(x+1) < 0$. Произведение отрицательно строго между корнями, поэтому

   $-1 < x < 2$

4. 4

   Пересечём найденные множества решений. Пересечение $\left((-\infty,0) \cup (1,\infty)\right)$ и $(-1,2)$ исключает всё вне $(-1,2)$ и выколотый кусок $[0,1]$ посередине:

   $(-1,\,0) \cup (1,\,2)$

   Промежуток $[0,1]$ отсутствует, так как на нём парабола достигает минимума $-1{,}25$ при $x = 0{,}5$, что нарушает нижнюю границу.

5. 5

   Проверим на контрольных точках. При $x = -0{,}5$: $0{,}25 + 0{,}5 - 1 = -0{,}25$, попадает в $(-1,1)$. При $x = 0{,}5$: $-1{,}25$, не подходит. При $x = 1{,}5$: $2{,}25 - 1{,}5 - 1 = -0{,}25$, подходит. При $x = 2$: $4 - 2 - 1 = 1$, неравенство строгое, поэтому конец не входит.