Решите уравнение x² + 4|x − 3| − 7x + 11 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Найдём точку, где выражение под знаком модуля меняет знак. Выражение $|x-3|$ ведёт себя по-разному по разные стороны от $x=3$, поэтому числовая прямая распадается на две ветви: $x\ge 3$ и $x<3$. На каждой ветви модуль заменяется обычным линейным выражением, и одно трудное уравнение превращается в два обычных квадратных.

2. 2

   Ветвь 1: $x\ge 3$, поэтому $|x-3|=x-3$. Подставляем и приводим подобные:

   $x^2+4(x-3)-7x+11=x^2+4x-12-7x+11=x^2-3x-1=0$

   $x=\frac{3\pm\sqrt{9+4}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$

3. 3

   Оставим из первой ветви только тот корень, который действительно удовлетворяет условию $x\ge 3$. Численно $\frac{3+\sqrt{13}}{2}\approx 3.303\ \ge 3$ (принимаем), а $\frac{3-\sqrt{13}}{2}\approx-0.303<3$ (отбрасываем). Отброшенное значение удовлетворяет переписанному уравнению, но не исходному, потому что по ту сторону $|x-3|$ равен уже не $x-3$.

4. 4

   Ветвь 2: $x<3$, поэтому $|x-3|=3-x$.

   $x^2+4(3-x)-7x+11=x^2-4x+12-7x+11=x^2-11x+23=0$

   $x=\frac{11\pm\sqrt{121-92}}{2}=\frac{11\pm\sqrt{29}}{2}$

   Здесь $\frac{11-\sqrt{29}}{2}\approx 2.807<3$ (принимаем), а $\frac{11+\sqrt{29}}{2}\approx 8.193\ \ge 3$ (отбрасываем).

5. 5

   Проверим оба уцелевших корня в исходном уравнении. При $x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\approx3.30278$: $x^2\approx10.9083$, $4|x-3|\approx1.2111$, $-7x\approx-23.1194$, в сумме $10.9083+1.2111-23.1194+11\approx 0$. При $x=\frac{11-\sqrt{29}}{2}\approx2.80742$: $x^2\approx7.8816$, $4|x-3|\approx0.7703$, $-7x\approx-19.6519$, в сумме $\approx 0$. Оба корня подходят.

6. 6

   Выпишем оба корня. У уравнения ровно два решения:

   $x=\frac{11-\sqrt{29}}{2}\approx2.807\qquad\text{и}\qquad x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\approx3.303$

   По одному корню с каждой стороны от точки разрыва $x=3$ — полезное напоминание о том, что разбор случаев вполне может дать корень на каждой ветви.