Найдите корень уравнения (5x + 7)² = (5x − 6)² и запишите его в виде десятичной дроби.

Step-by-step solution

1. 1

   Воспользуемся признаком равенства квадратов вместо раскрытия скобок. Для действительных чисел $A^{2}=B^{2}$ выполняется тогда и только тогда, когда $A=B$ или $A=-B$. Можно было бы раскрыть скобки — тогда $25x^{2}$ сократятся — но разбор по случаям быстрее и нагляднее показывает структуру задачи.

2. 2

   Случай 1: $5x+7=5x-6$. Вычтем $5x$ из обеих частей:

   $7=-6$

   Получено неверное равенство без $x$, значит, решений здесь нет. Это ожидаемо: оба выражения линейны с одинаковым коэффициентом при $x$, значит, совпадать не могут.

3. 3

   Случай 2: $5x+7=-(5x-6)$. Раскроем скобки справа, учитывая минус:

   $5x+7=-5x+6$

   Переносим все $x$ влево, числа — вправо:

   $10x=-1$

4. 4

   Решим и переведём в десятичную дробь.

   $x=-\frac{1}{10}=-0.1$

5. 5

   Проверим в исходном уравнении. При $x=-0.1$: $5(-0.1)+7=6.5$, $5(-0.1)-6=-6.5$. Тогда $6.5^{2}=42.25$, $(-6.5)^{2}=42.25\ \checkmark$ — скобки дают противоположные числа, что и требовалось во втором случае.