Решить систему: (1/3)x - (1/3)y = -1; -(1/3)x + y - (1/2)z = -w; (5/6)z - (1/2)y = w; x = 30 + z.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала избавимся от дробей в самом простом уравнении. Умножив $\tfrac13x-\tfrac13y=-1$ на $3$, получаем

   $x-y=-3\;\Longrightarrow\;x=y-3.$

   Начинать выгодно с того уравнения, где меньше всего неизвестных: подстановки выходят короткими.

2. 2

   Свяжем два выражения для $x$. Четвёртое уравнение даёт $x=30+z$, поэтому

   $30+z=y-3\;\Longrightarrow\;y=33+z.$

   Теперь через $z$ выражаются все неизвестные, кроме $w$.

3. 3

   Исключим $w$, приравняв второе и третье уравнения. Умножив второе на $-1$, получаем $\tfrac13x-y+\tfrac12z=w$, а третье даёт $\tfrac56z-\tfrac12y=w$. Приравниваем их и подставляем $x=30+z$:

   $10+\frac13z-y+\frac12z=\frac56z-\frac12y.$

   Поскольку $\tfrac13+\tfrac12=\tfrac56$, слагаемые с $z$ в обеих частях одинаковы и сокращаются полностью — именно этот шаг позволяет решить систему в одну строку.

4. 4

   Решим оставшееся уравнение относительно $y$.

   $10-y=-\frac12y\;\Longrightarrow\;20-2y=-y\;\Longrightarrow\;y=20.$

   Далее из $y=33+z$ находим $z=20-33=-13$, а из $x=30+z$ получаем $x=17$.

5. 5

   Найдём $w$ и проверим все четыре уравнения. Из третьего уравнения

   $w=\frac56(-13)-\frac12(20)=-\frac{65}{6}-10=-\frac{125}{6}.$

   Проверка в точных дробях: $\tfrac13(17)-\tfrac13(20)=-1$ ✓; $-\tfrac13(17)+20-\tfrac12(-13)=\tfrac{125}{6}=-w$ ✓; $\tfrac56(-13)-\tfrac12(20)=-\tfrac{125}{6}=w$ ✓; $30+(-13)=17=x$ ✓.