Найдите частное (x³ + 7x² + 7x − 15), делённое на (x + 3).

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала по признаку делимости (теореме Безу) можно предсказать остаток: он равен значению делимого при $x=-3$: $(-27)+7(9)+7(-3)-15=-27+63-21-15=0$. Остаток равен нулю — значит, $x+3$ является множителем, деление будет нацело.

2. 2

   Первый шаг. $\dfrac{x^3}{x}=x^2$. Умножим обратно: $x^2(x+3)=x^3+3x^2$. Вычтем: $7x^2-3x^2=4x^2$, сносим $7x$, получаем $4x^2+7x$.

3. 3

   Второй шаг. $\dfrac{4x^2}{x}=4x$. Умножим обратно: $4x(x+3)=4x^2+12x$. Вычтем: $7x-12x=-5x$, сносим $-15$, получаем $-5x-15$.

4. 4

   Третий шаг. $\dfrac{-5x}{x}=-5$. Умножим обратно: $-5(x+3)=-5x-15$. Вычтем: $0$, как и ожидалось по первому шагу.

5. 5

   Читаем частное и продолжаем разложение. Частное — $x^2+4x-5$, оно раскладывается на $(x+5)(x-1)$. Значит, полный разложение кубического многочлена: $(x+3)(x+5)(x-1)$, корни — $-3$, $-5$ и $1$.

6. 6

   Проверим раскрытием скобок. $(x+3)(x^2+4x-5)=x^3+4x^2-5x+3x^2+12x-15=x^3+7x^2+7x-15$, что совпадает с исходным многочленом.