Разложите f² - 16g² + 24gh - 9h² на множители полностью.

Step-by-step solution

1. 1

   Ищем скрытый полный квадрат среди трёх последних слагаемых. Выделим их и вынесем минус:

   $-16g^2+24gh-9h^2=-\left(16g^2-24gh+9h^2\right)$

   Внутри скобок $16g^2=(4g)^2$, $9h^2=(3h)^2$, а средний член равен $2(4g)(3h)=24gh$ — значит, это полный квадрат: $(4g-3h)^2$.

2. 2

   Перепишем всё выражение как разность квадратов:

   $f^2-16g^2+24gh-9h^2=f^2-(4g-3h)^2$

   Группировка по схеме «3+1», а не «2+2», выбрана потому, что именно три последних слагаемых составляют полный квадрат, а $f^2$ — ещё один квадрат.

3. 3

   Применим формулу $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ с $a=f$, $b=4g-3h$:

   $f^2-(4g-3h)^2=\bigl[f-(4g-3h)\bigr]\bigl[f+(4g-3h)\bigr]$

4. 4

   Раскроем внутренние скобки, внимательно относясь к знакам:

   $f-(4g-3h)=f-4g+3h,\qquad f+(4g-3h)=f+4g-3h$

   Важно: в первой скобке оба внутренних знака меняются — типичная ошибка — записывать $f-4g-3h$.

5. 5

   Проверим раскрытием и подстановкой чисел. $(f-4g+3h)(f+4g-3h)=f^2-(4g-3h)^2=f^2-16g^2+24gh-9h^2$ — совпадает. При $f=5$, $g=1$, $h=1$: исходное выражение $25-16+24-9=24$, а $(5-4+3)(5+4-3)=4\cdot 6=24$ — совпадает. Скобки далее не раскладываются, разложение завершено.