Решите систему неравенств: -x² + 3x + 4 ≥ 0 и 3x² - 5x ≥ 0. Запишите ответ в виде объединения интервалов.

Step-by-step solution

1. 1

   Слово «и» означает пересечение решений. Каждое неравенство имеет своё множество решений; система выполняется только там, где оба условия выполняются одновременно. Поэтому каждое неравенство решается отдельно, а в конце находится пересечение их решений.

2. 2

   Умножим первое неравенство на -1, чтобы ветви параболы были вверх. Умножая $-x^{2}+3x+4\ge 0$ на $-1$, знак неравенства меняется на противоположный:

   $x^{2}-3x-4\le 0\;\Longrightarrow\;(x-4)(x+1)\le 0.$

   Парабола $y=(x-4)(x+1)$ направлена вверх, поэтому она не превосходит нуля именно между своими корнями:

   $-1\le x\le 4.$

3. 3

   Вынесем $x$ за скобку в $3x^{2}-5x$. Так как свободного члена нет, разложение очевидно:

   $3x^{2}-5x=x(3x-5)\ge 0,\qquad\text{корни }x=0,\;x=\tfrac53 .$

   Парабола направлена вверх, поэтому $\ge 0$ выполняется вне корней:

   $x\le 0\quad\text{или}\quad x\ge \tfrac53 .$

   Если сравнить с похожим неравенством, где множитель $3x-2$, то правый корень был бы $\tfrac23$, а здесь — $\tfrac53$.

4. 4

   Пересечём $[-1,4]$ и $(-\infty,0]\cup\left[\tfrac53,\infty\right)$. По частям:

   $[-1,4]\cap(-\infty,0]=[-1,0],\qquad[-1,4]\cap\left[\tfrac53,\infty\right)=\left[\tfrac53,4\right],$

   итоговое множество решений — $[-1,0]\cup\left[\tfrac53,4\right]$. Промежуток $\left(0,\tfrac53\right)$ не входит в ответ — он шире, чем в случае с $3x-2$.

5. 5

   Проверим три характерные точки. $x=0{,}5$: первое неравенство $-0{,}25+1{,}5+4=5{,}25\ge 0$ ✓, второе $0{,}75-2{,}5=-1{,}75<0$ ✗ — точка не входит. $x=2$: $6\ge 0$ ✓ и $12-10=2\ge 0$ ✓ — точка входит. $x=-1$: $-1-3+4=0\ge 0$ ✓ и $3+5=8\ge 0$ ✓ — левый конец интервала принадлежит решению.