Решить 9^{x - 1/2} - 4/3^{1 - x} = -1 относительно x.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем всё с одинаковым основанием. Так как $9=3^{2}$,

   $9^{\,x-\frac12}=\left(3^{2}\right)^{x-\frac12}=3^{\,2x-1}.$

   Умножение показателей позволяет избавиться от неудобной $\tfrac12$: $2\left(x-\tfrac12\right)=2x-1$ — это сдвиг на целое число.

2. 2

   Перенесём дробь в числитель с помощью отрицательной степени. Поскольку $\frac{1}{3^{\,1-x}}=3^{\,x-1}$,

   $\frac{4}{3^{\,1-x}}=4\cdot3^{\,x-1},$

   и уравнение принимает вид

   $3^{\,2x-1}-4\cdot3^{\,x-1}=-1.$

   Теперь показатели отличаются только вдвое по $x$, что подсказывает сделать замену — так уравнение станет линейным относительно новой переменной.

3. 3

   Введём замену $t=3^{\,x-1}$. Тогда $t>0$ автоматически, а

   $3^{\,2x-1}=3^{\,2(x-1)+1}=3\left(3^{\,x-1}\right)^{2}=3t^{2}.$

   Здесь важно правильно учесть дополнительный множитель $3$: $2x-1$ — это $2(x-1)+1$, а не просто $2(x-1)$.

4. 4

   Решим квадратное уравнение. Получаем $3t^{2}-4t=-1$, то есть

   $3t^{2}-4t+1=0\;\Longrightarrow\;(3t-1)(t-1)=0\;\Longrightarrow\;t=\tfrac13\ \text{или}\ t=1.$

   Оба корня положительные, поэтому ни один не отбрасывается — это важно проверить, ведь отрицательное или нулевое $t$ не может быть степенью тройки.

5. 5

   Вернёмся к исходной переменной и проверим. Из $3^{\,x-1}=\tfrac13=3^{-1}$ получаем $x-1=-1$, значит, $x=0$; из $3^{\,x-1}=1=3^{0}$ имеем $x=1$. Проверим подстановкой в исходное уравнение: при $x=0$, $9^{-1/2}-\tfrac{4}{3}=\tfrac13-\tfrac43=-1$ ✓; при $x=1$, $9^{1/2}-\tfrac{4}{3^{0}}=3-4=-1$ ✓.