Разложить x³ + 3x² + 7x + 5 на множители и найти все его корни.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем возможные рациональные корни. Свободный член равен $5$, старший коэффициент — $1$, поэтому по теореме о рациональных корнях возможные значения:

   $x=\pm1,\ \pm5$

2. 2

   Проверим их, начиная с наименьших по модулю.

   $f(-1)=-1+3-7+5=0\ \checkmark$

   Значит, $x=-1$ — корень, а $(x+1)$ — множитель. (Для полноты: $f(1)=16$, $f(5)=240$, $f(-5)=-80$, то есть $-1$ — единственный рациональный корень.) Проверять отрицательные значения особенно полезно, когда все коэффициенты положительны: положительное $x$ не может дать сумму, равную нулю.

3. 3

   Разделим на $(x+1)$ с помощью синтетического деления. Используем корень $-1$ для коэффициентов $1,\ 3,\ 7,\ 5$:

   $1\ \to\ 3-1=2\ \to\ 7-2=5\ \to\ 5-5=0$

   Остаток равен нулю, значит, корень подтверждён, а частное — $x^2+2x+5$:

   $x^3+3x^2+7x+5=(x+1)\left(x^2+2x+5\right)$

4. 4

   Проверим, раскладывается ли квадратный множитель дальше. Его дискриминант:

   $2^2-4(1)(5)=4-20=-16<0$

   Отрицателен, значит, $x^2+2x+5$ неприводим над \mathbb{Q} и \mathbb{R}, разложение завершено.

5. 5

   Найдём все три корня. По формуле корней квадратного уравнения:

   $x=\dfrac{-2\pm\sqrt{-16}}{2}=\dfrac{-2\pm4i}{2}=-1\pm2i$

   То есть

   $x=-1,\qquad x=-1+2i,\qquad x=-1-2i$

   Заметим, что у всех трёх корней одинаковая вещественная часть $-1$. Это объясняется выделением полного квадрата: $x^2+2x+5=(x+1)^2+4$, поэтому комплексные корни расположены симметрично относительно действительного.

6. 6

   Проверим. Разложение совпадает с исходным многочленом при всех целых $x$ от $-30$ до $29$ ✓; подстановка $x=-1$ даёт $0$ ✓; сумма корней $-3=-b/a$ ✓, произведение $-\left((-1)^2+2^2\right)=-5=-d/a$ ✓.