Связь y(b − x) = ax нелинейна. Преобразуйте её к виду Y = mX + c и укажите Y, X, m и c.

Step-by-step solution

1. 1

   Анализ типа нелинейности. В данном уравнении нет показателей степени — проблема заключается в произведении $xy$, скрытом в выражении $y(b-x)=by-xy$. Применение логарифмов только усложнит ситуацию. Когда переменные перемножаются, обычно помогает переход к обратным значениям.

2. 2

   Деление на произведение $xy$. Исходя из $y(b-x)=ax$, поделим обе части на $xy$ (при $x\neq 0$, $y\neq 0$):

   $\frac{b-x}{x}=\frac{a}{y}$

3. 3

   Разделение дроби в левой части.

   $\frac{b}{x}-1=\frac{a}{y}$

   Теперь обе переменные встречаются только как $1/x$ и $1/y$, что указывает на правильность выбранного преобразования.

4. 4

   Выражение $1/y$. Разделим обе части на $a$:

   $\frac{1}{y}=\frac{b}{a}\cdot\frac{1}{x}-\frac{1}{a}$

5. 5

   Сопоставление с $Y=mX+c$.

   $\underbrace{\frac{1}{y}}_{Y}=\underbrace{\frac{b}{a}}_{m}\underbrace{\frac{1}{x}}_{X}+\underbrace{\left(-\frac{1}{a}\right)}_{c}$

   То есть нужно строить график $1/y$ от $1/x$. Свободный член определяет $a=-1/c$, а затем $b=ma$.

6. 6

   Проверка на числовом примере. Пусть $a=2$, $b=5$, $x=1$: исходное уравнение даёт $y(5-1)=2$, то есть $y=0{,}5$ и $1/y=2$. Линейная форма: $\tfrac{5}{2}(1)-\tfrac12=2$ — совпадает. Обратите внимание: свободный член отрицателен, что соответствует $a>0$.