Найти x, если (x + 4)(x² − 4x + 16) − x(x + 5)(x − 5) = 264.

Step-by-step solution

1. 1

   Узнаём в первом произведении сумму кубов. Формула $a^3+b^3=(a+b)\left(a^2-ab+b^2\right)$ подходит при $a=x$ и $b=4$, ведь $a^2-ab+b^2=x^2-4x+16$:

   $(x+4)\left(x^2-4x+16\right)=x^3+64$

   Раскрыть скобки «в лоб» тоже можно, но так легко ошибиться в знаках; узнавание формулы сразу делает видимым предстоящее сокращение.

2. 2

   Узнаём во втором произведении разность квадратов.

   $(x+5)(x-5)=x^2-25\;\Longrightarrow\;x(x+5)(x-5)=x^3-25x$

3. 3

   Подставляем оба выражения и наблюдаем, как исчезают кубы.

   $\left(x^3+64\right)-\left(x^3-25x\right)=25x+64$

   Слагаемые $x^3$ уничтожаются полностью, поэтому то, что выглядело кубическим уравнением, на деле линейно — в этом и весь замысел задачи.

4. 4

   Решаем линейное уравнение.

   $25x+64=264\;\Longrightarrow\;25x=200\;\Longrightarrow\;x=8$

5. 5

   Проверяем подстановкой в исходное уравнение. При $x=8$ первое произведение равно $12\left(64-32+16\right)=12\cdot 48=576$, второе — $8\cdot 13\cdot 3=312$. Тогда

   $576-312=264\;\checkmark$

   Проверку здесь стоит проделать целиком: сокращение кубических слагаемых — как раз тот шаг, за которым легко прячется арифметическая описка.