Решить систему неравенств: −x² + 3x + 4 ≥ 0 и 3x² − 2x ≥ 0. Записать множество решений в виде объединения промежутков.

Step-by-step solution

1. 1

   План: решаем каждое неравенство по отдельности, затем пересекаем. Система, соединённая союзом и, выполняется только там, где верны оба условия, поэтому ответ — пересечение двух множеств решений. Решить их «в одну строку» не получится; надёжный способ — два отдельных анализа знаков и одна числовая прямая.

2. 2

   Делаем старший коэффициент положительным в первом неравенстве. Умножение $-x^{2}+3x+4\ge 0$ на $-1$ меняет знак неравенства на противоположный:

   $x^{2}-3x-4\le 0\;\Longrightarrow\;(x-4)(x+1)\le 0.$

   Произведение двух множителей $\le 0$ между корнями, а парабола с ветвями вверх лежит ниже оси как раз между своими корнями, поэтому

   $-1\le x\le 4.$

3. 3

   Раскладываем второе неравенство, вынося общий множитель. Свободного члена нет, поэтому выносим $x$ за скобку, а не хватаемся за формулу корней:

   $3x^{2}-2x=x(3x-2)\ge 0,$

   корни здесь $x=0$ и $x=\tfrac23$. Эта парабола тоже направлена ветвями вверх, значит она $\ge 0$ вне корней:

   $x\le 0\quad\text{или}\quad x\ge \tfrac23.$

   Заметим, что направление противоположно шагу 2 — в этом и состоит вся разница между $\le$ и $\ge$ для параболы с ветвями вверх.

4. 4

   Пересекаем два множества на одной числовой прямой. Первое множество — $[-1,4]$, второе — $(-\infty,0]\cup[\tfrac23,\infty)$. Пересекаем первое с каждым куском второго:

   $[-1,4]\cap(-\infty,0]=[-1,0],\qquad [-1,4]\cap\left[\tfrac23,\infty\right)=\left[\tfrac23,4\right].$

   Итак, решение — $[-1,0]\cup\left[\tfrac23,4\right]$. Промежуток $\left(0,\tfrac23\right)$ исключён, потому что на нём $x(3x-2)<0$.

5. 5

   Проверяем четыре конца и по одной точке в каждой области. При $x=0.3$ (внутри пропуска): $-0.09+0.9+4=4.81\ge0$ ✓, но $3(0.09)-0.6=-0.33<0$ ✗, значит точка $0.3$ исключена верно. При $x=-0.5$: $-0.25-1.5+4=2.25\ge0$ ✓ и $0.75+1=1.75\ge0$ ✓. При $x=2$: $6\ge0$ ✓ и $12-4=8\ge0$ ✓. При $x=4.5$: $-20.25+13.5+4<0$ ✗. В каждом из четырёх концов один из множителей обращается в нуль, поэтому все они входят в замкнутое множество.