Решите неравенство (x + 1)(x + 3) ≥ (x − 2)(x − 4).

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала раскроем скобки, а уже потом решим, какого типа это неравенство. Произведение в каждой части наводит на мысль о квадратном неравенстве с методом интервалов, но узнать это можно только после раскрытия. И ни в коем случае не сравнивайте множители попарно: рассуждение «$(x+1)\ge(x-2)$ и $(x+3)\ge(x-4)$» — совсем другое и неверное.

2. 2

   Раскроем каждую часть.

   $(x+1)(x+3)=x^2+4x+3$

   $(x-2)(x-4)=x^2-6x+8$

   так что неравенство принимает вид

   $x^2+4x+3\ge x^2-6x+8$

3. 3

   Вычтем $x^2$ из обеих частей — это и есть ключевое упрощение. Старшие члены в обеих частях совпадают, поэтому они сокращаются, и неравенство становится линейным:

   $4x+3\ge -6x+8$

   Никакой таблицы знаков, никаких критических точек и параболы: квадратность оказалась мнимой.

4. 4

   Соберём подобные и выразим $x$. Прибавим $6x$, вычтем $3$, разделим на положительное $10$:

   $10x+3\ge 8\ \Longrightarrow\ 10x\ge 5\ \Longrightarrow\ x\ge\frac12$

   Поскольку $10>0$, направление знака $\ge$ сохраняется, а конец промежутка включается, так как исходное неравенство нестрогое.

5. 5

   Запишем ответ и проверим границу. Множество решений — $\left[\tfrac12,\infty\right)$. При $x=\tfrac12$: слева $=\tfrac32\cdot\tfrac72=\tfrac{21}{4}$, справа $=\left(-\tfrac32\right)\left(-\tfrac72\right)=\tfrac{21}{4}$ — части равны, значит $\tfrac12$ входит в ответ. При $x=0$: слева $=3$, справа $=8$, а $3\ge 8$ неверно, что подтверждает: значения меньше $\tfrac12$ не подходят.