Рационализируйте знаменатель дроби 17 делить на (2 плюс корень из 11).

Step-by-step solution

1. 1

   Выбираем сопряжённое, а не произвольный множитель. Знаменатель $2+\sqrt{11}$ — это биномиальное выражение с одним иррациональным слагаемым. Умножение на сопряжённое $2-\sqrt{11}$ — единственный способ избавиться от радикала за один шаг, так как $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ устраняет $\sqrt{11}$ при возведении в квадрат. Умножим числитель и знаменатель на одну и ту же величину, чтобы значение дроби не изменилось:

   $\frac{17}{2+\sqrt{11}}\cdot\frac{2-\sqrt{11}}{2-\sqrt{11}}$

2. 2

   Устраняем иррациональность в знаменателе через разность квадратов.

   $(2+\sqrt{11})(2-\sqrt{11})=2^2-(\sqrt{11})^2=4-11=-7$

   Обращаем внимание на знак: так как $11>4$, результат отрицательный. Именно этот минус в знаменателе чаще всего вызывает ошибки.

3. 3

   Раскрываем скобки в числителе. Распределим множитель $17$:

   $17(2-\sqrt{11})=34-17\sqrt{11}$

   Теперь дробь принимает вид:

   $\frac{34-17\sqrt{11}}{-7}$

4. 4

   Переносим минус в числитель. Отрицательный знаменатель не считается упрощённым. Умножим числитель и знаменатель на $-1$:

   $\frac{34-17\sqrt{11}}{-7}=\frac{17\sqrt{11}-34}{7}$

   Сокращать дальше нельзя: $17$ и $7$ взаимно просты, дробь приведена к наименьшему знаменателю.

5. 5

   Проверяем результат численно. При $\sqrt{11}=3.3166247903554$ исходное выражение равно $17/5.3166247903554=3.1975173480059\,7$, а рационализированная форма — $(17\cdot 3.3166247903554-34)/7=22.3826214/7=3.1975173480059\,7$. Значения совпадают до 13 знака после запятой, значит, рационализация выполнена верно.