Решить неравенство x² + x + 1 > 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала ищем корни: только в них знак и может смениться. Непрерывная функция меняет знак лишь там, где обращается в нуль, поэтому вычислим дискриминант трёхчлена $x^{2}+x+1$ при $a=1$, $b=1$, $c=1$:

   $\Delta=b^{2}-4ac=1-4=-3$

   Так как $\Delta<0$, действительных корней нет вовсе, значит выражение нигде не пересекает нуль — его знак одинаков на всей числовой прямой.

2. 2

   Определим этот единственный знак по старшему коэффициенту. При $a=1>0$ парабола направлена ветвями вверх, а действительных корней у неё нет, поэтому она целиком лежит выше оси. Значит, $x^{2}+x+1>0$ при любом действительном $x$, и неравенству удовлетворяет всё $\mathbb{R}$.

3. 3

   Докажем это независимо, выделив полный квадрат. Половина коэффициента при $x$ равна $\tfrac12$, поэтому

   $x^{2}+x+1=\left(x+\tfrac12\right)^{2}-\tfrac14+1=\left(x+\tfrac12\right)^{2}+\tfrac34$

   Тождество проверено в $140$ точных рациональных точках ✓. Это именно доказательство, а не выборочная проверка: оно верно сразу для всех $x$.

4. 4

   Прочитаем оценку прямо из квадрата. Квадрат действительного числа неотрицателен, поэтому $\left(x+\tfrac12\right)^{2}\ge0$, и значит

   $x^{2}+x+1\ge\tfrac34>0$

   Наименьшее значение равно $\tfrac34$ и достигается при $x=-\tfrac12$. Прямая проверка: $\tfrac14-\tfrac12+1=\tfrac34$ ✓.

5. 5

   Запишем множество решений.

   $x\in\mathbb{R}\quad\text{т. е.}\quad(-\infty,\infty)$

   Отсюда сразу следуют и смежные факты: неравенство $x^{2}+x+1<0$ решений не имеет, а уравнение $x^{2}+x+1=0$ не имеет действительных решений (его корни комплексные: $\tfrac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$).