Решите неравенство x² · x − 5 > 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала упрощаем выражение. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $x^2\cdot x=x^{2+1}=x^3$. Значит, неравенство кубическое, а не квадратное:

   $x^3-5>0$

   Прочитав $x^2x$ как $x^2$ или как $2x^2$, вы полностью подмените задачу.

2. 2

   Уединяем кубическое слагаемое. Прибавим $5$ к обеим частям:

   $x^3>5$

3. 3

   Извлекаем кубический корень из обеих частей. Именно здесь куб принципиально отличается от квадрата: функция $t\mapsto t^3$ строго возрастает на всей $\mathbb{R}$ и обратима, поэтому извлечение кубического корня сохраняет знак неравенства и не требует ни $\pm$, ни разбора случаев:

   $x>\sqrt[3]{5}$

   Для сравнения, неравенство $x^2>5$ дало бы ответ из двух частей: $x>\sqrt5$ или $x<-\sqrt5$.

4. 4

   Вычисляем границу.

   $\sqrt[3]{5}=1.709976\ldots\approx1.71$

   Быстрая прикидка размера: $1.7^3=4.913$ (чуть меньше $5$) и $1.71^3=5.000211$ (чуть больше), значит, корень лежит между ними ✓.

5. 5

   Записываем множество решений. Это один луч, открытый слева, поскольку неравенство строгое:

   $x>\sqrt[3]{5},\qquad\left(\sqrt[3]{5},\ \infty\right)$

6. 6

   Проверяем перебором. Вычисление $x^3-5$ в $10{,}001$ точке от $-5$ до $5$ и сравнение знака с условием $x>\sqrt[3]{5}$ даёт совпадение в каждой точке ✓ — в том числе на отрицательной полуоси, где кубический многочлен сильно отрицателен и справедливо исключён.