Разложите x² − x + 1 на множители: над действительными числами, если это возможно, иначе над комплексными.

Step-by-step solution

1. 1

   Считаем дискриминант, чтобы закрыть вещественный случай. При $a=1$, $b=-1$, $c=1$:

   $\Delta=b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4(1)(1)=1-4=-3$

   Так как $\Delta<0$, вещественных корней нет, а значит трёхчлен неприводим над $\mathbb{R}$ — пары вещественных линейных множителей не существует, и перебирать целые делители свободного члена $1$ бесполезно.

2. 2

   Находим комплексные корни по формуле корней квадратного уравнения.

   $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{-3}}{2}=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$

   Корни комплексно сопряжены — иначе и быть не может у многочлена с вещественными коэффициентами.

3. 3

   Записываем разложение над $\mathbb{C}$. Приведённый квадратный трёхчлен равен произведению множителей вида $(x-\text{корень})$ по всем его корням:

   $x^{2}-x+1=\left(x-\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\right)\left(x-\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\right)$

4. 4

   Проверяем обратным перемножением. Произведение равно $x^{2}-(r_{1}+r_{2})x+r_{1}r_{2}$. Сумма корней: $\dfrac{1+i\sqrt3}{2}+\dfrac{1-i\sqrt3}{2}=1$ ✓, произведение: $\dfrac{1^{2}-\left(i\sqrt3\right)^{2}}{4}=\dfrac{1+3}{4}=1$ ✓ — получается в точности $x^{2}-x+1$. Подстановка любого из корней даёт невязку меньше $10^{-14}$ ✓.

5. 5

   Отмечаем вещественную альтернативу и стоящее за ней тождество. Выделение полного квадрата даёт вещественную форму $x^{2}-x+1=\left(x-\tfrac12\right)^{2}+\tfrac34$: минимум равен $\tfrac34>0$ — независимое доказательство того, что выражение нигде не обращается в нуль. Кроме того, эти корни — первообразные корни шестой степени из единицы, что отражает тождество $x^{2}-x+1=\dfrac{x^{3}+1}{x+1}$.