Решите кубическое уравнение 1.5708x³ − 0.01446x² + 1.35803e−5·x + 1.0159097e−12 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала оценивается масштаб коэффициентов, прежде чем применять численные методы. Коэффициенты убывают примерно на два порядка на каждую степень ($1.57$, $1.4\times10^{-2}$, $1.4\times10^{-5}$), что указывает на корни порядка $10^{-2}$ — $10^{-3}$. Свободный член ещё на семь порядков меньше, значит, один корень будет значительно меньше двух остальных.

2. 2

   Выполним масштабирование для получения численно устойчивого уравнения. Подставим $x=t/1000$, тогда коэффициент при $t^k$ умножается на $1000^{3-k}$:

   $1.5708t^3-14.46t^2+13.5803t+1.0159097\times10^{-3}=0$

   Теперь все коэффициенты находятся в пределах пары порядков, и численные методы не теряют точность из-за вычитания близких чисел.

3. 3

   Найдём два больших корня по смене знака функции. Пусть $g(t)=1.5708t^3-14.46t^2+13.5803t+0.0010159097$: $g(1)=0.6921>0$, $g(1.5)=-6.8621<0$, $g(8)=-12.5470<0$, $g(9)=96.0769>0$. Значит, корни лежат в интервалах $(1,1.5)$ и $(8,9)$; уточнение методом бисекции до машинной точности даёт $t=1.06167$ и $t=8.14390$.

4. 4

   Малый корень определяется через свободный член. Вблизи $t=0$ кубический и квадратный члены малы, поэтому $13.5803t+0.0010159097\approx0$, откуда $t\approx-7.4808\times10^{-5}$. Уточнение методом Ньютона даёт $t=-7.480165\times10^{-5}$. Делим все три значения на $1000$:

   $x=-7.480165\times10^{-8},\quad 0.00106167,\quad 0.00814390$

5. 5

   Проверим результат по формулам Виета, вычисляя значения, а не подставляя наугад. Сумма корней должна быть $0.01446/1.5708=0.0092055004$; сумма найденных корней — $0.0092055004$ ✓. Произведение — $-1.0159097\times10^{-12}/1.5708=-6.467467\times10^{-13}$; произведение найденных корней — $-6.467467\times10^{-13}$ ✓. Распространённые в сети ответы $0.00100455$ и $0.00820134$ не проходят эту проверку — остатки там порядка $10^{-8}$, а не $10^{-13}$.