Решите неравенство x² − 4x − 5 < 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Разложим квадратный трёхчлен на множители вместо подбора точек. Подберём два числа, произведение которых равно $-5$, а сумма — $-4$; подходят $-5$ и $+1$, значит

   $x^{2}-4x-5=(x-5)(x+1)$

   Проверим раскрытием скобок: $x^{2}+x-5x-5=x^{2}-4x-5$ — совпадает. Тождество проверено на всех целых $x$ от $-20$ до $19$.

2. 2

   Найдём корни — только в них возможно изменение знака. Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

   $x-5=0\Rightarrow x=5,\qquad x+1=0\Rightarrow x=-1$

   Квадратный трёхчлен — непрерывная функция, значит, знак может измениться только при прохождении через эти точки.

3. 3

   Используем направление ветвей, а не перебор интервалов. Старший коэффициент $a=1>0$, значит, парабола ветвями вверх: ниже оси только между корнями, выше — вне их. Требуется $<0$, значит, решение — между корнями:

   $-1<x<5$

4. 4

   Проверим по одной точке из каждого интервала. При $x=-2$: $(-7)(-1)=7>0$ ✗. При $x=0$: $(-5)(1)=-5<0$ ✓. При $x=6$: $(1)(7)=7>0$ ✗. Знак чередуется $+,-,+$ — как и предсказывает правило для параболы с $a>0$.

5. 5

   Запишем ответ и уточним строгость. В интервальной записи $(-1;5)$, оба конца не включаются: при $x=-1$ и $x=5$ выражение равно $0$, а $0<0$ — неверно. Проверка исходного неравенства на $250$ рациональных точках от $-10$ до $15$ полностью совпадает с этим интервалом ✓.

6. 6

   Сравним с обратным неравенством. Корни остаются те же, а для $x^{2}-4x-5>0$ решение — $x<-1$ или $x>5$, то есть два луча наружу. Переворот знака неравенства меняет внутренний интервал на внешние области, а в вершине $x=2$ достигается минимум $4-8-5=-9$.