Решить систему уравнений 1/x + 1/y = 8 и 6/x + 12/y = 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Сделаем замену, чтобы избавиться от знаменателей. Неизвестные входят только в виде $1/x$ и $1/y$, поэтому обозначение $a=\frac1x,\qquad b=\frac1y$ превращает систему в линейную $a+b=8,\qquad 6a+12b=1.$ Избавление от знаменателей умножением привело бы, наоборот, к громоздкой системе второй степени — замена гораздо аккуратнее.

2. 2

   Упростим второе уравнение. Разделив $6a+12b=1$ на $6$, получаем $a+2b=\frac16.$ Теперь у обоих уравнений одинаковый коэффициент при $a$, и это позволяет исключить его одним вычитанием.

3. 3

   Исключим $a$ и найдём $b$. Вычитая первое уравнение из второго, $\left(a+2b\right)-\left(a+b\right)=\frac16-8\quad\Longrightarrow\quad b=\frac16-\frac{48}{6}=-\frac{47}{6}.$ Отрицательное $b$ вполне допустимо — это лишь означает, что $y$ окажется отрицательным.

4. 4

   Подставим обратно и найдём $a$. Из $a+b=8$ следует $a=8+\frac{47}{6}=\frac{48}{6}+\frac{47}{6}=\frac{95}{6}.$

5. 5

   Вернёмся к $x$ и $y$. Поскольку $a=1/x$ и $b=1/y$, $x=\frac{1}{a}=\frac{6}{95},\qquad y=\frac{1}{b}=-\frac{6}{47}.$ Обе величины отличны от нуля, поэтому исходные знаменатели допустимы и отбрасывать ничего не приходится.

6. 6

   Проверим в исходных уравнениях. Имеем $\dfrac{1}{x}=\dfrac{95}{6}$ и $\dfrac{1}{y}=-\dfrac{47}{6}$, поэтому первое уравнение даёт $\dfrac{95}{6}-\dfrac{47}{6}=\dfrac{48}{6}=8$, а второе — $6\cdot\dfrac{95}{6}+12\cdot\left(-\dfrac{47}{6}\right)=95-94=1$. Оба равенства выполняются точно, без всякого округления.