Решите систему x2 + 4x3 = −4, x1 + 3x2 + 3x3 = −2, 3x1 + 7x2 + 5x3 = 6.

Step-by-step solution

1. 1

   Записываем расширенную матрицу и фиксируем порядок переменных. Столбцы отвечают $x_1,x_2,x_3$ и свободным членам; в первом уравнении нет $x_1$, поэтому оно даёт ведущий $0$: $\left[\begin{array}{ccc|c} 0&1&4&-4\\ 1&3&3&-2\\ 3&7&5&6 \end{array}\right]$

2. 2

   Меняем строки местами, чтобы первым ведущим элементом стала единица. Перестановка $R_1$ и $R_2$ ставит ведущую $1$ в левый верхний угол и избавляет от дробей в дальнейшем: $\left[\begin{array}{ccc|c} 1&3&3&-2\\ 0&1&4&-4\\ 3&7&5&6 \end{array}\right]$

3. 3

   Обнуляем элементы под первым ведущим. Преобразование $R_3 \leftarrow R_3-3R_1$ даёт $[3,7,5\mid 6]-3[1,3,3\mid -2] = [0,-2,-4\mid 12]$, поэтому третья строка становится $0,-2,-4\mid 12$. Второй ведущий элемент в $R_2$ уже равен $1$.

4. 4

   Обнуляем элементы под вторым ведущим. Преобразование $R_3 \leftarrow R_3+2R_2$ даёт $[0,-2,-4\mid12]+2[0,1,4\mid-4] = [0,0,4\mid4]$. Умножение на $\tfrac14$ даёт $[0,0,1\mid1]$, то есть $x_3 = 1$: матрица приведена к ступенчатому виду.

5. 5

   Идём обратным ходом, обнуляя элементы над ведущими. Преобразование $R_2 \leftarrow R_2-4R_3$ превращает $[0,1,4\mid-4]$ в $[0,1,0\mid-8]$; $R_1 \leftarrow R_1-3R_3$ превращает $[1,3,3\mid-2]$ в $[1,3,0\mid-5]$; наконец, $R_1 \leftarrow R_1-3R_2$ даёт $[1,0,0\mid19]$.

6. 6

   Считываем ответ и проверяем единственность. Приведённая матрица — это единичная матрица со столбцом $(19,-8,1)$, поэтому $x_1=19$, $x_2=-8$, $x_3=1$. Проверим все три исходных уравнения: $-8+4(1)=-4$; $19+3(-8)+3(1)=19-24+3=-2$; $3(19)+7(-8)+5(1)=57-56+5=6$. Три ведущих элемента на три неизвестных означают, что решение единственно.