Решите неравенство x² − 3x − 10 ≤ 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Разложим левую часть на множители. Два числа с произведением $-10$ и суммой $-3$ — это $-5$ и $2$:

   $x^2-3x-10=(x-5)(x+2)\le 0$

2. 2

   Найдём корни. Произведение обращается в нуль при $x=5$ и $x=-2$. Так как неравенство нестрогое, эти два значения входят в ответ.

3. 3

   Определим, где произведение отрицательно. Старший коэффициент равен $+1$, значит, ветви параболы направлены вверх: под осью она лежит только между корнями. Иначе говоря, при $-2<x<5$ множитель $(x+2)$ положителен, а $(x-5)$ отрицателен, и произведение отрицательно.

4. 4

   Запишем ответ отрезком.

   $-2\le x\le 5,\qquad\text{т. е. }[-2,\,5]$

5. 5

   Проверим все три области и концы отрезка. При $x=0$: $-10\le 0$ $\checkmark$. При $x=6$: $36-18-10=8\not\le 0$ $\checkmark$. При $x=-3$: $9+9-10=8\not\le 0$ $\checkmark$. При $x=5$ и $x=-2$ выражение в точности равно $0$, что условию $\le 0$ удовлетворяет $\checkmark$.