Раскройте и упростите (1 – 2x)(5 – 3x) + (4 – x)².

Step-by-step solution

1. 1

   Раскроем произведение по формуле распределительного закона (FOIL). Каждый член первой скобки умножается на каждый из второй, внимательно следя за знаками:

   $(1-2x)(5-3x)=5-3x-10x+6x^{2}=6x^{2}-13x+5$

   Последний множитель $(-2x)(-3x)=+6x^{2}$ положителен, так как произведение двух отрицательных даёт плюс.

2. 2

   Раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$, где $a=4$, $b=x$:

   $(4-x)^{2}=16-8x+x^{2}$

   Здесь три слагаемых — если записать $16-x^{2}$ или $16+x^{2}$, то пропадёт важный средний член $-8x$.

3. 3

   Сложим полученные выражения:

   $\left(6x^{2}-13x+5\right)+\left(16-8x+x^{2}\right)$

4. 4

   Приведём подобные слагаемые по степеням:

   $6x^{2}+x^{2}=7x^{2},\qquad-13x-8x=-21x,\qquad5+16=21$

   Получаем

   $7x^{2}-21x+21$

5. 5

   Проверим результат и отметим общий множитель. При $x=1$ исходное выражение даёт $(-1)(2)+9=7$, а ответ — $7-21+21=7$ ✓. Тождество выполняется при всех целых $x$ от $-30$ до $29$ ✓. Все коэффициенты делятся на $7$, значит, выражение можно записать как $7\left(x^{2}-3x+3\right)$; внутренний квадратный трёхчлен имеет дискриминант $9-12=-3<0$, поэтому не раскладывается на множители над действительными числами и выражение всегда положительно.