Разложить x³ + 3x² − 4x − 12 на множители полностью.

Step-by-step solution

1. 1

   Выбор способа группировки для четырёхчлена третьей степени. Общего множителя для всех четырёх слагаемых нет, поэтому удобно разбить выражение на две пары, надеясь, что в каждой паре получится одинаковый двучлен. В данном случае это действительно так.

2. 2

   Группировка и вынесение общего множителя в каждой паре.

   $\left(x^3+3x^2\right)+\left(-4x-12\right)=x^2(x+3)-4(x+3)$

   Важно вынести именно $-4$ (а не $+4$) из второй пары — это позволяет получить одинаковый двучлен $(x+3)$; если бы вынесли $+4$, остался бы $(-x-3)$.

3. 3

   Вынесение общего двучлена за скобки.

   $x^2(x+3)-4(x+3)=(x+3)\left(x^2-4\right)$

4. 4

   Завершение разложения через разность квадратов. Так как $x^2-4=x^2-2^2$:

   $x^2-4=(x-2)(x+2)$

   откуда

   $x^3+3x^2-4x-12=(x+3)(x-2)(x+2)$

   Остановка на $(x+3)(x^2-4)$ — типичная ошибка, из-за которой теряются баллы.

5. 5

   Запись корней. Полученное выражение обращается в ноль при $x=-3,\ 2,\ -2$ — три различных действительных корня, что соответствует кубическому многочлену.

6. 6

   Проверка раскрытием скобок. Подстановка целых значений от $-30$ до $29$ показывает полное совпадение исходного выражения и произведения трёх множителей ✓. Например, при $x=1$: $1+3-4-12=-12$, а $(4)(-1)(3)=-12$ ✓.