Решите кубическое уравнение 49 − 112x + 21x² − x³ = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Приведём кубическое уравнение к приведённому виду. Перепишем члены в стандартном порядке и умножим обе части на $-1$:

   $x^3 - 21x^2 + 112x - 49 = 0$

   Коэффициент при $x^3$ равен $+1$ — это важно для применения всех дальнейших методов поиска корней и понижения степени.

2. 2

   Проверим наличие рациональных корней. По теореме о рациональных корнях возможные значения — $\pm 1, \pm 7, \pm 49$. Подставляя их: $f(1) = 43$, $f(-1) = -183$, $f(7) = 343 - 1029 + 784 - 49 = 49$, $f(-7) = -2205$, а $f(\pm 49)$ сильно отличаются от нуля. Значит, уравнение не разлагается на множители с рациональными коэффициентами, и синтетическое деление не поможет.

3. 3

   Понизим степень уравнения, избавившись от квадратичного члена. Для $x^3 + ax^2 + bx + c$ подставим $x = y - \tfrac{a}{3}$, чтобы убрать $x^2$. В нашем случае $a = -21$, значит, $x = y + 7$:

   $(y+7)^3 - 21(y+7)^2 + 112(y+7) - 49 = y^3 - 35y + 49 = 0$

   Пониженное уравнение имеет вид $y^3 + py + q$, где $p = -35$, $q = 49$.

4. 4

   Проверим действительность всех трёх корней и применим тригонометрическую формулу. Дискриминант кубического уравнения: $\left(\tfrac{q}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{p}{3}\right)^3 = 600.25 - 1587.963 = -987.713 < 0$, что соответствует случаю casus irreducibilis: три различных действительных корня, которые нельзя выразить через радикалы без комплексных чисел. Используем тригонометрическую подстановку $y = 2\sqrt{-p/3}\,\cos\theta$:

   $y_k = 2\sqrt{\frac{35}{3}}\,\cos\!\left(\frac{1}{3}\arccos\!\left(-\frac{21}{10}\sqrt{\frac{3}{35}}\right) - \frac{2\pi k}{3}\right), \quad k = 0, 1, 2$

5. 5

   Возвращаемся к переменной $x$ и вычисляем значения. Так как $x = y + 7$, а $2\sqrt{35/3} \approx 6.8313$ и $\arccos(-0.6148170) \approx 2.2329502$ радиан, получаем три корня:

   $x_0 \approx 12.0248, \qquad x_1 \approx 8.4956, \qquad x_2 \approx 0.4797$

6. 6

   Проверим выполнение теоремы Виета. Сумма корней должна быть $21$, произведение — $49$: $12.0248 + 8.4956 + 0.4797 = 21.0001$, $12.0248 \times 8.4956 \times 0.4797 = 49.01$. Всё совпадает, в отличие от часто встречающихся в справочниках значений $0.4582,\ 9.8091,\ 10.7327$, которые дают сумму $21$, но произведение $48.24$, то есть не являются корнями этого уравнения.