Решите неравенство (x² − 4x + 3)/(x² − 9) ≤ 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Разложим числитель и знаменатель на множители.

   $x^2-4x+3=(x-1)(x-3),\qquad x^2-9=(x-3)(x+3)$

   Таким образом, неравенство принимает вид

   $\frac{(x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)}\le0$

2. 2

   Запишем область определения до сокращения. Знаменатель обращается в ноль при $x=3$ и $x=-3$, поэтому оба значения исключаются сразу:

   $x\neq3,\qquad x\neq-3$

   Это обязательно фиксируется на этом этапе, поскольку после сокращения $x=3$ станет «невидимым».

3. 3

   Сократим общий множитель, не забывая про исключения. Для $x\neq3$ общий множитель $(x-3)$ сокращается:

   $\frac{x-1}{x+3}\le0\qquad(x\neq3,\ x\neq-3)$

   Сокращение даёт устранимую особенность при $x=3$, а не смену знака — исходная функция просто не определена в этой точке, хотя упрощённая имеет значение. Это стандартная ловушка, о которой важно помнить.

4. 4

   Найдём критические точки упрощённой дроби и исследуем интервалы. Это $x=1$ (нулевой числитель) и $x=-3$ (нулевой знаменатель). Проверим знаки: при $x=-4$ получаем $\tfrac{-5}{-1}=5>0$; при $x=0$ — $\tfrac{-1}{3}<0$; при $x=2$ — $\tfrac{1}{5}>0$. Значит, только на интервале $(-3,1)$ выражение отрицательно.

5. 5

   Рассмотрим граничные точки. При $x=1$ дробь равна нулю, а $\le0$ допускает ноль, значит, $x=1$ входит в ответ. При $x=-3$ выражение не определено, значит, $x=-3$ не входит. $x=3$ также исключается областью определения, хотя и не попадает в $(-3,1]$ — это стоит явно отметить для полноты рассуждения.

6. 6

   Запишем ответ и проверим.

   $x\in(-3,1]$

   Если подставить исходную несокращённую дробь в $4001$ рациональной точке на $[-10,10]$ (кроме $x=\pm3$), неравенство выполняется ровно на $(-3,1]$ ✓.