Решите неравенство (7x − 1)/(3x − 2) < 4, обосновав каждый шаг преобразований.

Step-by-step solution

1. 1

   Не умножаем обе части на 3x − 2. Выражение $3x-2$ положительно при $x>\tfrac23$ и отрицательно при $x<\tfrac23$. Умножать неравенство на выражение неизвестного знака нельзя: на одной части числовой прямой знак неравенства сохранился бы, а на другой перевернулся. Безопасный путь — перенести всё в одну часть и сравнить с нулём.

2. 2

   Вычитаем 4 из обеих частей. Прибавлять или вычитать число можно всегда:

   $\frac{7x-1}{3x-2}-4<0$

3. 3

   Сводим к одной дроби. Запишем $4$ как $\dfrac{4(3x-2)}{3x-2}$:

   $\frac{7x-1-4(3x-2)}{3x-2}=\frac{7x-1-12x+8}{3x-2}=\frac{7-5x}{3x-2}<0$

4. 4

   Находим критические точки. Числитель обращается в нуль при $7-5x=0$, то есть $x=\tfrac75$; знаменатель — при $x=\tfrac23$. Эти точки разбивают прямую на промежутки $\left(-\infty,\tfrac23\right)$, $\left(\tfrac23,\tfrac75\right)$ и $\left(\tfrac75,\infty\right)$.

5. 5

   Берём по одной пробной точке на каждом промежутке.

   $x=0$: $\dfrac{7}{-2}<0$ ✓

   $x=1$: $\dfrac{2}{1}=2>0$ ✗

   $x=2$: $\dfrac{-3}{4}<0$ ✓

6. 6

   Собираем ответ, отдельно разбирая концы промежутков. Неравенство строгое, поэтому точка $x=\tfrac75$ (где дробь равна $0$) не входит, а $x=\tfrac23$ не входит потому, что там выражение не определено:

   $\boxed{x<\dfrac23\quad\text{или}\quad x>\dfrac75}$

7. 7

   Сверяемся с исходным неравенством. При $x=0$: $\tfrac{-1}{-2}=0.5<4$ ✓. При $x=1$: $\tfrac{6}{1}=6\not<4$ ✗. При $x=2$: $\tfrac{13}{4}=3.25<4$ ✓. Заметим, что наивное умножение крест-накрест дало бы $7x-1<12x-8$, то есть $x>\tfrac75$ — верно для одной ветви, но весь промежуток $x<\tfrac23$ при этом теряется, ровно как и предупреждалось на первом шаге.