Решить неравенство (2x - 1)/(1 - x) ≥ 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Умножать на знаменатель нельзя. Перемножать обе части на $1-x$ некорректно, так как знак этого выражения меняется при $x=1$. Для рациональных неравенств надёжно использовать метод интервалов — строится таблица знаков по нулям числителя и знаменателя.

2. 2

   Находим критические точки.

   $2x-1=0\Rightarrow x=\frac12\quad(\text{нуль числителя}),\qquad 1-x=0\Rightarrow x=1\quad(\text{нуль знаменателя, исключается})$

   Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы $\left(-\infty,\tfrac12\right)$, $\left(\tfrac12,1\right)$ и $(1,\infty)$. Знак выражения не меняется внутри каждого из них.

3. 3

   Проверяем знак на каждом промежутке. При $x=0$: $\dfrac{-1}{1}=-1<0$. При $x=\tfrac34$: $\dfrac{3/2-1}{1/4}=\dfrac{1/2}{1/4}=2>0$. При $x=2$: $\dfrac{3}{-1}=-3<0$. Получается чередование: минус, плюс, минус — выражение положительно только на среднем промежутке.

4. 4

   Рассматриваем граничные точки — здесь часто теряют баллы. При $x=\tfrac12$ дробь равна $\dfrac{0}{1/2}=0$, а $0\ge0$ выполняется, значит, $x=\tfrac12$ включается. При $x=1$ знаменатель обнуляется, выражение не определено, поэтому $x=1$ исключается — независимо от направления неравенства.

5. 5

   Записываем ответ в виде полуинтервала.

   $\frac12\le x<1,\qquad\left[\frac12,\ 1\right)$

   Неравенство скобок — вся суть задачи.

6. 6

   Проверяем ответ перебором. Подставляя $6001$ точку на $[-3,3]$ (пропуская $x=1$) и сравнивая с найденным промежутком, не обнаружено ни одного расхождения ✓.