Решить кубическое уравнение x³ + 3x² + 2x − 504 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Выносим общий множитель и вглядываемся в структуру. У первых трёх слагаемых есть общий множитель $x$:

   $x^3+3x^2+2x=x\left(x^2+3x+2\right)=x(x+1)(x+2)$

   поэтому уравнение принимает вид

   $x(x+1)(x+2)=504$

   То есть: найти три последовательных целых числа с произведением $504$. Если распознать эту структуру, кубическое уравнение сводится к перебору в одну строку.

2. 2

   Ищем вблизи кубического корня. Три последовательных числа около $n$ дают произведение примерно $n^3$, а $\sqrt[3]{504}\approx7.96$, поэтому пробуем тройку с центром около $8$:

   $7\times8\times9=504\ \checkmark$

   Значит, $x=7$ — корень. Проверяем напрямую: $343+147+14-504=0$ ✓.

3. 3

   Понижаем степень делением по схеме Горнера. Делим на $x-7$, беря коэффициенты $1,\ 3,\ 2,\ -504$:

   $1\quad\to\quad 3+7=10\quad\to\quad 2+70=72\quad\to\quad -504+504=0$

   Нулевой остаток подтверждает корень, а частное равно $x^2+10x+72$:

   $x^3+3x^2+2x-504=(x-7)\left(x^2+10x+72\right)$

4. 4

   Решаем квадратный множитель. Его дискриминант равен

   $10^2-4(1)(72)=100-288=-188<0$

   поэтому оставшиеся два корня комплексные, а значит $x=7$ — единственный действительный корень.

5. 5

   Упрощаем комплексные корни. Так как $\sqrt{-188}=i\sqrt{4\cdot47}=2i\sqrt{47}$:

   $x=\frac{-10\pm2i\sqrt{47}}{2}=-5\pm i\sqrt{47}$

6. 6

   Проверяем все три корня. Подстановка $x=7$ даёт ровно $0$ ✓. Подстановка $-5\pm i\sqrt{47}$ в комплексной арифметике даёт $0$ с точностью до $1.1\times10^{-14}$ ✓. Структурная проверка: сумма корней равна $7+(-5)+(-5)=-3=-b/a$ ✓, а их произведение $7\left(25+47\right)=504=-d/a$ ✓.