Решите уравнение x² = 2x + 17.

Step-by-step solution

1. 1

   Приведём к стандартному виду. Вычтем $2x$ и $17$ из обеих частей, чтобы справа остался нуль:

   $x^{2}-2x-17=0$

   так что $a=1$, $b=-2$, $c=-17$. Оба перенесённых слагаемых меняют знак.

2. 2

   Вычислим дискриминант.

   $\Delta=(-2)^{2}-4(1)(-17)=4+68=72$

   Так как $\Delta=72>0$, действительных корней два и они различны. Полным квадратом это число не является, поэтому разложить на множители в целых числах невозможно: нет пары целых чисел с произведением $-17$ и суммой $-2$, ведь $17$ простое.

3. 3

   Применим формулу корней.

   $x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{72}}{2(1)}=\frac{2\pm\sqrt{72}}{2}$

4. 4

   Упростим корень до сокращения. Вынесем наибольший квадратный множитель: $72=36\cdot2$, поэтому $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$. Тогда

   $x=\frac{2\pm6\sqrt{2}}{2}=\frac{2\left(1\pm3\sqrt{2}\right)}{2}=1\pm3\sqrt{2}$

   Если оставить $\sqrt{72}$ неупрощённым, общий множитель $2$ останется незамеченным и красивого сокращения не выйдет.

5. 5

   Проверим оба корня. По теореме Виета сумма должна равняться $-b/a=2$, и действительно $\left(1+3\sqrt2\right)+\left(1-3\sqrt2\right)=2$ ✓. Произведение должно равняться $c/a=-17$, и $1^{2}-\left(3\sqrt2\right)^{2}=1-18=-17$ ✓. Численно $x\approx5.2426$ и $x\approx-3.2426$, причём невязка выражения $x^{2}-2x-17$ в обоих случаях меньше $10^{-11}$ ✓.