При A = [[9,1,1],[1,2,1],[1,18,1]] и C = [[10,2,2],[2,3,2],[2,19,2]] вычислите (A + C)².

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала складываем и только потом возводим в квадрат — раскрывать бином нельзя. Хочется написать $(A+C)^2=A^2+2AC+C^2$, но это тождество требует $AC=CA$, а для матриц равенство вообще говоря неверно. Сложение в первую очередь снимает вопрос полностью и вдобавок заметно сокращает вычисления.

2. 2

   Складываем матрицы поэлементно. Обе имеют размер $3\times 3$, поэтому сумма определена:

   $S=A+C=\begin{pmatrix}19&3&3\\3&5&3\\3&37&3\end{pmatrix}$

3. 3

   Записываем возведение в квадрат как произведение S·S. Каждый элемент $S^2$ — скалярное произведение строки $S$ на столбец $S$. Столбцы матрицы $S$ таковы: $(19,3,3)$, $(3,5,37)$ и $(3,3,3)$.

4. 4

   Считаем первую строку.

   $(19,3,3)\cdot(19,3,3)=361+9+9=379$

   $(19,3,3)\cdot(3,5,37)=57+15+111=183$

   $(19,3,3)\cdot(3,3,3)=57+9+9=75$

5. 5

   Считаем вторую и третью строки.

   $(3,5,3)\cdot(19,3,3)=57+15+9=81,\quad (3,5,3)\cdot(3,5,37)=9+25+111=145,\quad (3,5,3)\cdot(3,3,3)=33$

   $(3,37,3)\cdot(19,3,3)=57+111+9=177,\quad (3,37,3)\cdot(3,5,37)=9+185+111=305,\quad (3,37,3)\cdot(3,3,3)=129$

6. 6

   Собираем результат.

   $\boxed{(A+C)^{2}=\begin{pmatrix}379&183&75\\81&145&33\\177&305&129\end{pmatrix}}$

7. 7

   Быстро проверяем третий столбец. Все элементы третьего столбца $S$ равны $3$, поэтому третий столбец $S^2$ обязан равняться $3\times$(суммы элементов строк $S$): суммы строк равны $25$, $11$ и $43$, что даёт $75$, $33$ и $129$ — совпадает с посчитанным и подтверждает арифметику.