Решите систему x + y − 3z = 0, 2x(6 − x) + 4y(3 − y) + 6z(0,5 − z) = 0 и x² + 2y² + 3z² = 21.

Step-by-step solution

1. 1

   Раскроем скобки во втором уравнении и отделим линейную часть от квадратичной.

   $12x - 2x^2 + 12y - 4y^2 + 3z - 6z^2 = 0$

   $\Longrightarrow \ 12x + 12y + 3z = 2x^2 + 4y^2 + 6z^2$

   Квадратичная часть — это в точности $2\left(x^2 + 2y^2 + 3z^2\right)$, та же комбинация, что стоит в третьем уравнении. Именно на этом совпадении и построена задача.

2. 2

   Подставим третье уравнение и уничтожим все квадратичные члены. Так как $x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 21$:

   $12x + 12y + 3z = 2(21) = 42$

   То, что выглядело нелинейным уравнением, стало линейным.

3. 3

   По первому уравнению сведём всё к одному z. Из $x + y = 3z$:

   $12(3z) + 3z = 42 \ \Longrightarrow \ 39z = 42 \ \Longrightarrow \ z = \frac{42}{39} = \frac{14}{13}$

4. 4

   Сведём задачу к одному квадратному уравнению относительно y. При $z = \tfrac{14}{13}$ имеем $x + y = 3z = \tfrac{42}{13}$ и

   $3z^2 = 3\cdot\frac{196}{169} = \frac{588}{169}, \qquad x^2 + 2y^2 = 21 - \frac{588}{169} = \frac{3549 - 588}{169} = \frac{2961}{169}$

   (заметим, что $21 \times 169 = 3549$; ошибка вроде $3559$ здесь тянет за собой неверные корни). Подставляя $x = \tfrac{42}{13} - y$ и умножая всё на $169$:

   $1764 - 1092y + 507y^2 = 2961 \ \Longrightarrow \ 507y^2 - 1092y - 1197 = 0$

5. 5

   Решим квадратное уравнение. Деление на $3$ даёт $169y^2 - 364y - 399 = 0$ с дискриминантом

   $364^2 + 4(169)(399) = 132496 + 269724 = 402220 = 26^2 \cdot 595$

   откуда

   $y = \frac{364 \pm 26\sqrt{595}}{338} = \frac{14 \pm \sqrt{595}}{13}$

   Дискриминант не является точным квадратом ($595 = 5 \cdot 7 \cdot 17$), поэтому корни иррациональны — любой «красивый» ответ вроде $7/13$ заведомо неверен.

6. 6

   Найдём x и проверим оба решения. Из $x = \tfrac{42}{13} - y = \dfrac{28 \mp \sqrt{595}}{13}$ получаем два решения

   $\left(\frac{28 - \sqrt{595}}{13},\ \frac{14 + \sqrt{595}}{13},\ \frac{14}{13}\right) \approx (0.27749,\ 2.95328,\ 1.07692)$

   $\left(\frac{28 + \sqrt{595}}{13},\ \frac{14 - \sqrt{595}}{13},\ \frac{14}{13}\right) \approx (4.03020,\ -0.79943,\ 1.07692)$

   Подстановка любой из этих троек во все три исходных уравнения даёт невязки меньше $10^{-14}$.