Решите уравнение |x^2 − 13| = 3.

Step-by-step solution

1. 1

   Разбейте по определению модуля. Запись $|A| = 3$ означает, что подмодульное выражение удалено от нуля на $3$ в любую сторону, то есть $A = 3$ или $A = -3$. Здесь это даёт два отдельных квадратных уравнения:

   $x^2 - 13 = 3 \qquad \text{или} \qquad x^2 - 13 = -3$

   Обе ветви рабочие, потому что $3 > 0$; будь правая часть отрицательной, решений не было бы вовсе.

2. 2

   Решите положительную ветвь.

   $x^2 - 13 = 3 \;\Longrightarrow\; x^2 = 16 \;\Longrightarrow\; x = \pm 4$

3. 3

   Решите отрицательную ветвь.

   $x^2 - 13 = -3 \;\Longrightarrow\; x^2 = 10 \;\Longrightarrow\; x = \pm\sqrt{10}$

   В обеих ветвях справа получилось положительное число, поэтому каждая действительно даёт по два действительных корня — потому у уравнения четыре решения, а не два.

4. 4

   Проверьте каждый корень. $|4^2 - 13| = |3| = 3$ и $|(-4)^2 - 13| = 3$. Для иррациональной пары: $(\pm\sqrt{10})^2 = 10$, поэтому $|10 - 13| = |-3| = 3$. Все четыре значения подходят точно.

5. 5

   Выпишите множество решений. В порядке возрастания на числовой прямой, где $\sqrt{10} \approx 3.1623$:

   $x = -4,\ -\sqrt{10},\ \sqrt{10},\ 4$