Упростите √45 − √12 − √10/√2 + 3/√3 до вида a√3 + b√5 с рациональными a и b и найдите a + b.

Step-by-step solution

1. 1

   Упрощаем два обычных корня. Выносим наибольший квадратный множитель:

   $\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt5,\qquad \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt3$

2. 2

   Сворачиваем частное корней в один корень. По свойству $\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\dfrac ab}$:

   $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt2}=\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt5$

   Так быстрее, чем сначала избавляться от иррациональности в знаменателе.

3. 3

   Избавляемся от иррациональности в последнем слагаемом.

   $\frac{3}{\sqrt3}=\frac{3\sqrt3}{3}=\sqrt3$

   (Равносильно: $\tfrac{3}{\sqrt3}=\sqrt3$, поскольку $\sqrt3\cdot\sqrt3=3$.)

4. 4

   Отдельно собираем слагаемые с √3 и с √5. Это неподобные радикалы, объединить их нельзя:

   $3\sqrt5-2\sqrt3-\sqrt5+\sqrt3=(3-1)\sqrt5+(-2+1)\sqrt3=2\sqrt5-\sqrt3$

5. 5

   Приводим к требуемому виду и складываем. Записав результат как $a\sqrt3+b\sqrt5$, получаем $a=-1$ и $b=2$, откуда

   $a+b=-1+2=1$

   $\boxed{a+b=1}$

6. 6

   Проверяем численно. $\sqrt{45}=6.7082$, $\sqrt{12}=3.4641$, $\tfrac{\sqrt{10}}{\sqrt2}=2.2361$, $\tfrac{3}{\sqrt3}=1.7321$. Сумма равна $6.7082-3.4641-2.2361+1.7321=2.7401$, и $2\sqrt5-\sqrt3=4.4721-1.7321=2.7401$ ✓.