Решите уравнение (2x + 3)² − 4x² = 51 − 9x.

Step-by-step solution

1. 1

   Не спешите доставать формулу корней квадратного уравнения. Уравнение выглядит квадратным из-за скобки в квадрате, но стоящее вне неё слагаемое $-4x^2$ — это в точности квадрат старшего члена внутри скобки. Обнаруживается это именно при раскрытии, поэтому сначала раскроем скобку:

   $(2x+3)^2=(2x)^2+2\cdot 2x\cdot 3+3^2=4x^2+12x+9$

2. 2

   Подставим и увидим, как исчезают квадратичные слагаемые. Вернём разложение в левую часть:

   $4x^2+12x+9-4x^2=12x+9$

   Слагаемые с $x^2$ пропали, так что вся задача стала линейной:

   $12x+9=51-9x$

3. 3

   Соберём слагаемые с $x$ в одной части, а свободные — в другой. Прибавим $9x$ к обеим частям и одновременно вычтем $9$:

   $12x+9x=51-9$

   $21x=42$

4. 4

   Разделим на коэффициент при $x$.

   $x=\frac{42}{21}=2$

5. 5

   Проверяем в исходном уравнении, а не в упрощённом. Именно на шаге сокращения обычно прячется потерянный знак, поэтому подставим $x=2$ в ту строку, с которой начинали:

   $\text{Левая часть}=(2\cdot 2+3)^2-4\cdot 2^2=7^2-16=49-16=33$

   $\text{Правая часть}=51-9\cdot 2=51-18=33$

   Обе части равны $33$, значит, ответ $x=2$ подтверждён.