Решите 2x³ + 33x² + 180x – 300 = 0. Сколько уравнение имеет действительных корней и каковы они?

Step-by-step solution

1. 1

   Исключим рациональные корни. Возможные кандидаты имеют вид $\pm\frac{p}{q}$, где $p\mid 300$, $q\mid 2$. Проверим несколько наиболее вероятных значений для $f(x)=2x^{3}+33x^{2}+180x-300$:

   $f(1)=2+33+180-300=-85,\quad f(2)=16+132+360-300=208,$

   $f(-5)=-250+825-900-300=-625,\quad f(-10)=-2000+3300-1800-300=-800.$

   Ни одно из этих значений не обращает многочлен в ноль, как и остальные возможные кандидаты. Следовательно, данное кубическое уравнение неприводимо над рациональными числами и не раскладывается на множители подбором.

2. 2

   Определим число действительных корней по дискриминанту. Для $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ дискриминант равен

   $\Delta=18abcd-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4ac^{3}-27a^{2}d^{2}=-42{,}120{,}000.$

   Так как $\Delta<0$, существует ровно один действительный корень и пара сопряжённых комплексных. Это определяет количество корней ещё до численного поиска — просмотр значений $f$ на $[-100,20]$ показывает единственную смену знака, примерно при $x=1{,}32$.

3. 3

   Ограничим и уточним действительный корень методом бисекции. Так как $f(1)=-85<0$, а $f(2)=208>0$, корень лежит в промежутке $(1,2)$. Повторяя деление пополам и выбирая отрезок со сменой знака, получаем

   $x\approx 1.321083731.$

   Проверка: $f(1.321083731)\approx+4.4\times10^{-8}$ ✓. Если округлить до $1.32$, получим $f\approx-0.30$, так что дополнительные знаки существенны, если корень будет использоваться далее.

4. 4

   Запишем точное выражение по формуле Кардано. Приведём кубическое к пониженному виду подстановкой $x=t-\frac{b}{3a}=t-\frac{11}{2}$, получая $t^{3}+pt+q=0$, где

   $p=\frac{3ac-b^{2}}{3a^{2}}=-\frac34,\qquad q=\frac{2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}=-\frac{1249}{4}.$

   Поскольку $\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}=\frac{1560001}{64}-\frac{1}{64}=24375$ и $\sqrt{24375}=25\sqrt{39}$, по формуле Кардано получаем

   $x=\sqrt[3]{\frac{1249}{8}+25\sqrt{39}}+\sqrt[3]{\frac{1249}{8}-25\sqrt{39}}-\frac{11}{2}.$

5. 5

   Проверим точную формулу с высокой точностью. Подставляя это выражение с точностью до 60 знаков, получаем

   $x=1.32108373084131024332679\ldots,$

   и подстановка обратно даёт $f(x)\approx 2\times10^{-53}$ ✓. Обратите внимание, что второй корень кубический берётся из очень малого числа $\frac{1249}{8}-25\sqrt{39}\approx 5.004\times10^{-5}$, поэтому при вычислениях в обычной плавающей точке точность теряется — для практики надёжнее использовать найденное методом бисекции значение.