Разложите x² − 4x + 3 на множители и используйте это разложение для решения x² − 4x + 3 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем целевую форму. Квадратный трёхчлен с коэффициентом 1 перед $x^2$, который разлагается на целые множители, можно представить так:

   $x^2 - 4x + 3 = (x - a)(x - b)$

   Если раскрыть скобки справа, получится $x^2 - (a+b)x + ab$, поэтому неизвестные $a$ и $b$ определяются двумя условиями, а не подбором.

2. 2

   Выпишем условия на сумму и произведение. Сравнивая коэффициенты, получаем:

   $a + b = 4, \qquad ab = 3$

   Иначе говоря, для вида $x^2 + bx + c$ нужны два числа, произведение которых $c = +3$, а сумма $-4$; это числа $-1$ и $-3$.

3. 3

   Используем знаки для быстрого поиска. Произведение $+3$ положительно, значит, оба числа одного знака; сумма $-4$ отрицательна, значит, оба отрицательны. Единственная пара отрицательных делителей числа $3$ — это $(-1, -3)$, причём $(-1)(-3) = 3$ и $(-1) + (-3) = -4$. Следовательно,

   $x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$

4. 4

   Проверим разложение раскрытием скобок.

   $(x - 1)(x - 3) = x^2 - 3x - x + 3 = x^2 - 4x + 3 \ \checkmark$

   Коэффициент при $x$ получается из двух перекрёстных членов $-3x$ и $-x$; этот шаг объясняет, откуда берётся разложение.

5. 5

   Применим свойство нуля произведения. Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

   $(x - 1)(x - 3) = 0 \ \Longrightarrow \ x - 1 = 0 \ \text{или} \ x - 3 = 0$

   $x = 1 \quad \text{или} \quad x = 3$

   Подставляя обратно: $1 - 4 + 3 = 0$ и $9 - 12 + 3 = 0$. По формуле корней квадратного уравнения получаем ту же пару: $x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$.