Избавьтесь от иррациональности в знаменателе и упростите выражение 2, делённое на сумму квадратного корня из 7 и квадратного корня из 2.

Step-by-step solution

1. 1

   Разберёмся, почему одного умножения не хватит. Если умножить числитель и знаменатель только на $\sqrt{7}$, в знаменателе останется $\sqrt{14}$. Для суммы двух разных корней нужно сопряжённое выражение: только формула разности квадратов убирает оба корня за один приём.

2. 2

   Умножаем на сопряжённое, делённое само на себя. Сопряжённым к $\sqrt{7}+\sqrt{2}$ будет $\sqrt{7}-\sqrt{2}$. Умножение на $\dfrac{\sqrt7-\sqrt2}{\sqrt7-\sqrt2}$ — это умножение на $1$, поэтому значение выражения не меняется:

   $\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{7}-\sqrt{2}}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}$

3. 3

   Раскрываем знаменатель по формуле $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. Перекрёстные слагаемые взаимно уничтожаются — в этом и весь смысл:

   $(\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{2}) = (\sqrt7)^2-(\sqrt2)^2 = 7-2 = 5$

4. 4

   Раскрываем скобки в числителе.

   $2(\sqrt{7}-\sqrt{2}) = 2\sqrt{7}-2\sqrt{2}$

   Получаем $\dfrac{2\sqrt7-2\sqrt2}{5}$.

5. 5

   Проверяем, сокращается ли дробь дальше. Наибольший общий делитель чисел $2$, $2$ и $5$ равен $1$, поэтому сократить нечего; можно также записать ответ в виде $\dfrac{2(\sqrt7-\sqrt2)}{5}$.

6. 6

   Проверяем численно. $\sqrt7\approx2.6458$ и $\sqrt2\approx1.4142$, поэтому исходное выражение равно $\tfrac{2}{4.0600}\approx0.4926$, а ответ даёт $\tfrac{2(1.2316)}{5}\approx0.4926$. Значения совпадают.