Упростите (1 − 2√(b/a) + b/a), делённое на (√a − √b) в квадрате.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим числитель как полный квадрат. Обозначим $u=\sqrt{b/a}$. Тогда $b/a=u^{2}$, и числитель принимает вид

   $1-2u+u^{2}=(1-u)^{2}=\left(1-\sqrt{\tfrac{b}{a}}\right)^{2}.$

   Замечание структуры полного квадрата $1-2u+u^{2}$ — ключевой шаг; без него радикалы не сокращаются.

2. 2

   Перепишем этот квадрат через общий знаменатель. Так как $\sqrt{b/a}=\sqrt b/\sqrt a$ при $a>0$,

   $1-\frac{\sqrt b}{\sqrt a}=\frac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt a},\qquad\text{следовательно,}\qquad\left(1-\sqrt{\tfrac ba}\right)^{2}=\frac{(\sqrt a-\sqrt b)^{2}}{a}.$

   Заметим, что $(\sqrt a)^{2}=a$, отсюда и появляется $a$ в знаменателе окончательного ответа.

3. 3

   Выполним деление на знаменатель. Знаменатель равен $\left(a^{1/2}-b^{1/2}\right)^{2}=(\sqrt a-\sqrt b)^{2}$ — это тот же множитель, что и в числителе:

   $\frac{(\sqrt a-\sqrt b)^{2}/a}{(\sqrt a-\sqrt b)^{2}}=\frac{1}{a}.$

4. 4

   Укажем условия, при которых сокращение корректно. Требуется $a>0$ для определения $\sqrt a$ и для равенства $\sqrt{b/a}=\sqrt b/\sqrt a$; $b\ge0$ для $\sqrt b$; и $a\ne b$, чтобы $(\sqrt a-\sqrt b)^{2}\ne0$ и деление было определено. При этих условиях значение выражения — $1/a$, и оно не зависит от $b$.

5. 5

   Проверим на числовых примерах. Пусть $a=9$, $b=4$. Числитель: $1-2\sqrt{4/9}+4/9=1-\tfrac43+\tfrac49=\tfrac19$; знаменатель: $(3-2)^{2}=1$; частное: $\tfrac19=1/a$. При $a=4$, $b=25$: числитель $1-2(2{,}5)+6{,}25=2{,}25$, знаменатель $(2-5)^{2}=9$, частное $0{,}25=1/4$. Всё совпадает.