Решить систему 3x + 2y = 5 и 2x − 3y = −1.

Step-by-step solution

1. 1

   Выберем метод сложения и решим, какую переменную убирать. Ни в одном уравнении нет коэффициента $1$, поэтому подстановка привела бы к дробям — сложение здесь чище. Коэффициенты при $y$ равны $2$ и $-3$, их наименьшее общее кратное равно $6$, а знаки уже противоположные, так что после домножения эти слагаемые сократятся при сложении.

2. 2

   Домножим каждое уравнение. Первое умножим на $3$, второе — на $2$:

   $3(3x+2y=5)\;\Longrightarrow\;9x+6y=15,$

   $2(2x-3y=-1)\;\Longrightarrow\;4x-6y=-2.$

   Умножать нужно каждое слагаемое, включая правые части: именно на $15$ и $-2$ здесь чаще всего ошибаются.

3. 3

   Сложим уравнения и исключим $y$. Слагаемые $+6y$ и $-6y$ взаимно уничтожаются:

   $(9x+4x)+(6y-6y)=15+(-2)\;\Longrightarrow\;13x=13\;\Longrightarrow\;x=1.$

4. 4

   Обратной подстановкой найдём $y$. Возьмём исходное первое уравнение:

   $3(1)+2y=5\;\Longrightarrow\;2y=2\;\Longrightarrow\;y=1.$

   Подстановка именно в исходное, а не в домноженное уравнение гарантирует, что ошибка из шага 2 не проберётся незаметно в $y$.

5. 5

   Проверим в обоих исходных уравнениях. Первое: $3(1)+2(1)=5$ ✓. Второе: $2(1)-3(1)=-1$ ✓. Геометрически у этих прямых угловые коэффициенты $-\tfrac32$ и $\tfrac23$ — взаимно обратные с противоположными знаками, поэтому прямые пересекаются под прямым углом в единственной точке $(1,1)$: решение единственно, что подтверждает и ненулевой определитель $3(-3)-2(2)=-13$.