Решите неравенство (x − 1)(x + 2)(x − 3) < 0 и запишите множество решений в виде промежутков.

Step-by-step solution

1. 1

   Не раскрывайте скобки. Неравенство уже разложено на множители, и это именно та форма, которая нужна. Если всё перемножить, получится $x^3-2x^2-5x+6$, а такая запись ничего не говорит о знаках. Произведение отрицательно или положительно в зависимости от того, сколько его множителей отрицательны, поэтому сохраняем разложение и изучаем множители по одному.

2. 2

   Находим корни каждого множителя. Приравнивая каждую скобку к нулю, получаем

   $x-1=0\Rightarrow x=1,\qquad x+2=0\Rightarrow x=-2,\qquad x-3=0\Rightarrow x=3$

   Только в этих точках произведение может менять знак: непрерывная функция способна перейти от отрицательных значений к положительным, лишь пройдя через $0$.

3. 3

   Разбиваем числовую прямую точками $-2$, $1$ и $3$. Три корня делят прямую на четыре открытых промежутка:

   $(-\infty,-2),\quad (-2,1),\quad (1,3),\quad (3,+\infty)$

   Внутри каждого промежутка знак произведения постоянен, поэтому одной пробной точки достаточно, чтобы определить знак на всём промежутке.

4. 4

   Берём по одной пробной точке на каждый промежуток. Записываем не числовое значение, а знак каждого множителя:

   промежуток	пробное $x$	$x+2$	$x-1$	$x-3$	произведение
   $(-\infty,-2)$	$-3$	$-$	$-$	$-$	$-$
   $(-2,1)$	$0$	$+$	$-$	$-$	$+$
   $(1,3)$	$2$	$+$	$+$	$-$	$-$
   $(3,+\infty)$	$4$	$+$	$+$	$+$	$+$

   Три минуса при перемножении дают минус, два минуса — плюс: в этом и состоит всё правило.

5. 5

   Обратите внимание на чередование знаков. Каждый множитель входит в первой степени (все корни простые), поэтому в каждом корне знак меняется на противоположный. Начиная справа, где все множители положительны, при движении влево знаки идут $+,-,+,-$. Зная знак на самом правом промежутке, остальные можно расставить вообще без подстановок — таблица выше служит лишь проверкой.

6. 6

   Собираем промежутки, где произведение отрицательно, и исключаем концы. Произведение отрицательно на $(-\infty,-2)$ и на $(1,3)$. Неравенство строгое, поэтому точки $x=-2$, $x=1$ и $x=3$ (в них произведение равно $0$, а не меньше $0$) в ответ не входят:

   $\boxed{(-\infty,-2)\cup(1,3)}$

   Выборочная проверка: при $x=-3$ получаем $(-4)(-1)(-6)=-24<0$, при $x=2$ получаем $(1)(4)(-1)=-4<0$, а при $x=0$ выходит $(-1)(2)(-3)=6>0$ — ровно как и предсказано.