Решить уравнение с вложенным модулем: модуль разности модуля x и 4 равен 5.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала снимаем внешний модуль. Для любого выражения $A$ равенство $|A|=5$ означает, что $A=5$ или $A=-5$. Пока считаем $A=|x|-4$ единым блоком:

   $|x|-4=5\qquad\text{или}\qquad |x|-4=-5.$

   Путаница с вложенными модулями возникает как раз тогда, когда их снимают изнутри наружу, а не снаружи внутрь.

2. 2

   Решаем первую ветвь.

   $|x|-4=5\ \Longrightarrow\ |x|=9\ \Longrightarrow\ x=9\ \text{или}\ x=-9.$

3. 3

   Решаем вторую ветвь.

   $|x|-4=-5\ \Longrightarrow\ |x|=-1.$

   Модуль — это расстояние до нуля, и отрицательным оно не бывает, поэтому эта ветвь не даёт решений. Умение вовремя распознать тупиковую ветвь избавляет от лишнего разбора случаев.

4. 4

   Собираем уцелевшие решения.

   $x=9\quad\text{или}\quad x=-9.$

5. 5

   Проверяем оба значения в исходном уравнении. При $x=9$: $\bigl||9|-4\bigr|=|9-4|=|5|=5$ ✓. При $x=-9$: $\bigl||-9|-4\bigr|=|9-4|=5$ ✓. Оба подходят, значит множество решений — это $\{-9,9\}$.