Решите кубическое уравнение x³ + 2x² + 7x + 4 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Перебираем всех кандидатов на рациональный корень. По теореме о рациональных корнях годятся только делители числа $4$:

   $f(1) = 14, \quad f(-1) = -2, \quad f(2) = 34, \quad f(-2) = -10, \quad f(4) = 128, \quad f(-4) = -56$

   Ни одно значение не равно нулю, значит многочлен неприводим над $\mathbb{Q}$ и разложить его подбором не получится.

2. 2

   Отделяем единственный действительный корень. У кубического уравнения всегда есть хотя бы один действительный корень. Смена знака

   $f(-1) = -2 < 0, \qquad f(0) = 4 > 0$

   запирает корень на промежутке $(-1, 0)$. Более того, у производной $f'(x) = 3x^2 + 4x + 7$ дискриминант равен $16 - 84 < 0$, поэтому $f' > 0$ всюду: функция строго возрастает и действительный корень ровно один.

3. 3

   Уточняем методом Ньютона. Итерации $x_{n+1} = x_n - \dfrac{x_n^3 + 2x_n^2 + 7x_n + 4}{3x_n^2 + 4x_n + 7}$ от $x_0 = -0.7$ быстро сходятся к

   $x_1 \approx -0.6535951654$

   При вычислениях с 40 значащими цифрами невязка меньше $10^{-39}$. (Типичная небрежность — остановиться на грубой оценке вроде $-0.6954$; там $f = -0.2369$, а вовсе не $0$.)

4. 4

   Делим на найденный действительный корень. Деление уголком на $\left(x - x_1\right)$ оставляет квадратный трёхчлен

   $x^2 + 1.3464048346\,x + 6.1199963094 = 0$

   с нулевым остатком, где коэффициенты равны $2 + x_1$ и $7 + x_1(2 + x_1)$.

5. 5

   Решаем квадратное уравнение и получаем пару комплексных корней. Дискриминант отрицателен:

   $\Delta = 1.3464048346^2 - 4(6.1199963094) = -22.6671792591$

   $x = \frac{-1.3464048346 \pm i\sqrt{22.6671792591}}{2} \approx -0.6732024173 \pm 2.3805030592\,i$

6. 6

   Проверяем по формулам Виета. Сумма трёх корней обязана равняться $-2$, а произведение — $-4$:

   $-0.6535951654 + 2(-0.6732024173) = -2.0000000000 \ \checkmark$

   $(-0.6535951654)\left(0.6732024173^2 + 2.3805030592^2\right) = -4.0000000002 \ \checkmark$

   Оба тождества выполняются, что подтверждает вычисления независимо от самой итерации.