Решите неравенство (2x + 1)/(x − 4) < 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Понимание, когда дробь отрицательна. Дробь отрицательна тогда и только тогда, когда её числитель и знаменатель имеют разные знаки. Поэтому нельзя просто перемножать обе части на $x-4$ (знак этого выражения меняется) — необходимо отдельно отслеживать знак числителя и знаменателя.

2. 2

   Находим критические точки.

   $2x+1=0\Rightarrow x=-\frac12\quad(\text{ числитель равен нулю }),\qquad x-4=0\Rightarrow x=4\quad(\text{ знаменатель равен нулю })$

   Знак дроби может измениться только в этих точках, поэтому они разбивают числовую прямую на интервалы $\left(-\infty,-\tfrac12\right)$, $\left(-\tfrac12,4\right)$ и $(4,\infty)$.

3. 3

   Проверяем знак в каждом интервале. Подставим $x=-1$: $\dfrac{-1}{-5}=0{,}2>0$ (оба отрицательны). Подставим $x=0$: $\dfrac{1}{-4}=-0{,}25<0$ (знаки разные). Подставим $x=5$: $\dfrac{11}{1}=11>0$ (оба положительны). Только на среднем интервале дробь отрицательна.

4. 4

   Обрабатываем оба конца интервала: оба не включаются, но по разным причинам. При $x=-\tfrac12$ дробь равна $0$, а неравенство строгое ($<0$, а не $\le0$), поэтому $0$ не подходит. При $x=4$ дробь не определена. Значит, оба конца — открытые.

5. 5

   Записываем ответ.

   $-\frac12<x<4,\qquad\left(-\frac12,\ 4\right)$

   В отличие от многих рациональных неравенств, здесь оба скобки оказались открытыми — но по совершенно разным причинам, что стоит отметить.

6. 6

   Проверяем точность на дробных значениях. Если вычислить дробь в $12001$ рациональной точке на $[-10,10]$, пропуская $x=4$, неравенство выполняется ровно на $\left(-\tfrac12,4\right)$ и нигде больше ✓.